看不懂不要紧因为没啥用 | 面向理论派的多重数学分析

本文将从几何学角度对多重进行分析。

（然而作者是个学地质的所以大家看看就得了对于专业性不必太较真但是有错误还是希望提出）

在介绍多重之前，先来看看Portal、Link和Field在几何学上是什么。

Portal

从几何学的角度来看，portal相当于一个点。实际上游戏中的确如此，每个portal都是固定的没有大小的点，其位置由6位精度的经纬度坐标确定。

Link

由欧氏几何的公理可知，从一点向另一点可以引一条直线。两点连线间的那部分直线就是一条线段，在平面上这条直线具有唯一性。在Ingress中情况略有不同。由于游戏中所有的portal都在一个球面上（这个球面可以是任意球面，但是由portal之间的距离可以大致推测出这应该是大地水准面），因此两点之间严格来说并不是直线段，而是过两点的大圆的劣弧。

同时，游戏中对于Link还有一个限制：

Link之间不能相互交叉。 ①

在数学上当然可以随便交叉，并没有什么限制。

Field

如果线段外有一个不与线段共线的点，那么这三个点一定可以组成一个三角形。同样的，游戏中的三角形严格的来说应该是球面三角形。在满足连接条件（不在已有的field中，无block link）的情况下，游戏中几乎任意三个点都可以连成一个field，因为由于六位精度的GPS，三点共线几乎是不可能的。【然而历史上的确出现过相关事故，这个有时间再讲。】

三角形就是由三个不共线的点互相连接组成的图形。这个定义中把点、连接换成portal和link就是游戏中的情况。这个定义还可以延伸一下：一条线段和以这条线段为端点的一条折线组成的图形。这个定义看上去十分鸡肋，但是在后面的多重分类中却是有用的。

图1 三角形的另一种定义

三角形外任何一个点都能形成多重么？在回答这个问题之前要再明确两个游戏中跟几何学有关的限制：

• Link之间不能相互交叉。①

• 处在field中的portal无法射出连接。②

当然在下面的讨论中我们有时会忽略限制②。

那么回到前面的问题，在已有的三角形外再加入一个点，这四个点能够组成几个field？

并不是，当处于某些位置的时候，三角形外一点与已知三角形只能形成2个field。

图二 无法构成多重的情况

而处于另外一些位置的时候则拥有4个field。

理论上讲，一条线段与线段外不共线一点就可以组成一个三角形。三角形的每条边都可以看作独立的一条边，那么每条边都能与三角形外一点组成一个三角形。

由于限制①的存在，在第一种情况里一条三角形的底边挡住了对面的点，因此这个外点只能连接两个点。而第二种情况中这个外点可以毫无阻挡地连接到三角形的三个点。

由此我们可以得到这样的结论：处于图四中蓝色区域的点都可以组成一个简单的多重，这个重有4个点，4个field和6个link。我将蓝色区域的点称之为内点。

图四

由图三可以看出，无论是第四个点处于三角形内还是三角形外，组成的多重形状实际上都是一样的。如果第四点处在三角形外，那么原先的一个顶点就变成新的三角形内部的点。因此，为了简化模型，后续的讨论中，内点的确是处于三角形内部的点。

现在我们有了最简单的多重：F:L:P=6:4:4。我将其称之为：元多重。所有的多重都可以看作是一个个元多重组合嵌套而成。Ingress图标的中心就是一个元多重。

在元多重的基础上继续增加一个点，能最多获得几个field？我们可以分类讨论：

①假如第5个点处于大三角形外部，那么很显然，情况和图三a是一样的。

②如果第5个点在三角形内部，则只能选择一个三角形，无论处于哪个小三角形内部，都和图三b是一样的。也就是说无论第五个点处于什么位置，都最多只能和三个点相连，从而构成三个新的field。

图五

在五点多重上再增加一个点，情况依旧和上面的讨论中一样：只能最多多出3个field。也就是说，在三角形的基础上，每多一个点，最多就会多出3个field。这就是一个首项为4，公差为3的等差数列。假如三角形的内点数为n，那么多重的field数F就有如下关系：

F=3n+1 ①

如果总点数为N，那么N=n+3，所以可以推导出另一个关系：

F=3（N-3）+1=3N-8 ②

同时对于link来说，每增加一个点都会相应的增加三条link。这也是一个公差为3的等差数列。假如三角形的内点数为n，那么多重的Link数L就有如下关系：

L=3n+3 ③

如果总点数为N，那么N=n+3，所以可以推导出另一个关系：

L=3（N-3）+3=3N-6 ④

很显然，公式①、③要比②、④更加简洁。因此平时人们更多利用大三角形内部的点的数量来计算多重数。

尽管组成再复杂的多重都是由元多重组合而成，但是元多重的组合是十分灵活的。为了研究不同类型的多重，就需要对多重进行分类。

在分类前，我们将更深入地探讨多重意味着什么。

任何一个三角形都具有三条边和三个顶点，然而多重的Link数却远少于此（3(3n+1)/(3n+3)，几乎是三倍的关系）。其中的原因就是：多重中存在大量的共用底边现象。共用底边意味着这条底边上拥有多条同侧折线。如果连接这些折线的转折点，我们就会得到一条线。我将其称之为“轴”（图六）。位于轴上的点越多表明对应的底边共用的次数越多。根据多重的共用情况可以分为三类：

①单轴多重，仅有1条底边；

②复轴多重，有多条轴汇聚于一个顶点，因此也有多个底边；

③转轴多重，每个轴仅有2个顶点，底边不断轮换。

可以看出单轴多重的特点是有多条边汇聚于底边的两端，在总点数相同的情况下，单轴多重中的底边的两端各汇聚n+2条边；对于复轴多重，仅有轴的交点那个顶点拥有最多的link，同样是n+2；而对于转轴多重，三角形内部的点至少拥有3条link，至多拥有6条link。越多的link汇聚于一点意味着该点的连接压力越大，由于一般来说一个portal只能射出8条link，所以连接压力越大就意味着这个portal的key需求量越高。

实际上真正的复杂多重一般来说是这三类的混合。

本节将在前文的基础上讨论多重破坏过程中多重形态以及ap的变化。

Field的破坏过程中遵循一个原则：

仅破坏已存在field，并不产生新field。 ①

也就是说即使三条link头尾相接仍然可能不形成field。这个规则就可解释游戏中一种神奇的现象：空field。所谓空field就是指三条头尾相交的link中间却没有field覆盖。以下过程就可以制造一个空field：

第一步就是先连成图1a中的情况，如果以底部那条为底边，那么相当于有两条折线处于底边同侧。此时如果底边封口，根据《多重的数学研究I》中提到的游戏特性：底边同侧多条折线只识别面积最大者。此时就会仅出现一个field（如图1b）。这时如果破坏顶部的点，那么唯一一个field就会消失，其余三个点尽管由三条link互相连接，但是并不会自动成为field。这样就形成了一个“空field”（图1c）。

对于多重的破坏过程的分析，最初的思路是通过对多重分类进行讨论。但是在研究单轴多重的过程中，一个新的思路出现了，就是通过对比残余多重与原先完整多重的field数量，来确定破坏了多少field。这个数值实际上和被破坏的端点原先连接的Link数相关。尽管与多重种类无关，但是在下面的讨论中我们仍然从结构最简单的单轴多重开始。

单轴多重实际上就是人民群众喜闻乐见的“菊花”。这种多重拥有最大的link集中度。单轴多重底边的两端点各拥有n+2条link。要想直接计算炸掉一个底边端点会破坏多少field是较为复杂的。但是对于多重的总field数我们是很清楚的，计算残余的field数量，二者之差就是破坏的field数量。

对于一个拥有n个内点的单轴多重来说，它的总link（La）和总field（Fa）数分别为：

如果破坏一个底边端点，那么残余部分的link（Lr）和field数（Fr）分别为：

那么被破坏的link数（Ld）和field数（Fd）则分别为：

值得注意的是：

很显然，这个过程中被破坏的field数量将多于link数量，而且随着内点数的增加，这一比值会趋近于2。同样的，如果对方仅破坏一个点，那么只要按照一定的顺序依次连接轴上各点，原先的多重就可以恢复。当然除了最外层的点之外，其他的点需要从底边端点射出，所以一般来说n的最大值是8，但是如果有SBUL则可以扩充为8+8×2=24。在此过程中，可以实现F/L大于1的情况。由于La＞Fa，所以如果完全连接一个多重，Fa/La永远小于1。但F/L无论如何都无法大于2，原因在于，一条线段的同侧如果拥有多条折线，则只识别面积最大的一个，也就是说一条link最多只能形成两个field。这也限定了F/L的上界，也就是2.

根据Ld和Fd的公式，可以计算打掉一个n内点的单轴多重的一个“菊花”可以获得多少ap。

AP(Destroy)

=Ld×187+Fd×750+8×75

=187×(n+2)+750×(2n+1)+600

=1724 + 1687n

同样的，如果此时将多重复原，那么所得的ap：

AP(Rebuild）

= Ld×313+Fd×1250+1750

=313×(n+2)+1250×(2n+1)+1750

=3626 + 2813 n

AP(Destroy)/AP(Rebuild)的值最小为53%（n=1时），随着n的增大这个比值趋近于60%。这也是人们常说的“炸能获得连多重的60%的ap”的原因。

但实际上对多重的完全破坏和完全重建这一对过程中的AP比值要远低于此。下面我们将讨论完全破坏一个多重和完全连接一个多重的AP情况。

完全破坏意味着将破坏所有的field和link，同时将所有的portal转化为中立状态。这个过程中没有复杂的几何变换，因此以下主要讨论这一过程中AP的变化。

AP(Destroy All)

=La×187+Fa×750+(n+3)×600

=187×3×(n+1)+750×(3n+1)+600×(n+3)

=3111+3411n

完全重建指的是从中立portal开始完全建立一个多重。

AP(Build All)

=La×313+Fa×1250+(n+3)×1750

=313×3×(n+1)+1250×(3n+1)+1750×(n+3)

=7439 + 6439 n

AP(Destroy All)/AP(Rebuild All)的值最小为47%（n=1时），随着n的增大这个比值趋近于52%。

在有人对刷的情况下，每一轮获得的AP(All)将是完全破坏和完全重建之和，即：

AP(All)

= AP(Destroy All)+AP(Rebuild All)

=3111+3411n+7439+6439n

=10550+9850n