技术流 | 所以到底能不能用一个 Field 盖掉北极？

近日，两条横穿整个北极圈的link引起了我的注意，屏幕都快装不下了好伐~底下这条线要是一连得多少块黑牌啊！

于是产生一个疑问，link最长可以多长？

首先，猩猩肯定不会允许它超过地球周长的1/3，因为这样三条link就可能连出覆盖超过半个地球的field；而反过来看地球另一面，fied覆盖的面积又会小于半个地球，这是非常不合理的，也会引发诸多问题，猩猩不会这样自找麻烦。

然后，查阅资料发现，最高级的L8 po，其link范围是655.36km，距离加成最大的mod——LinkAmp(VR)，可以使link范围变为原来的7倍。加装4个，link范围变为

L=655.36km*(7+1.75+0.875+0.875)=6881.28km

当然，图中这条link最长可以达到

L‘=655.36km*(7+1.75+0.625+0.625)=6553.6km

两者差别不大，没有必要浪费我等萌新见都没见过的LinkAmp(VR) 囧

那么，新的问题来了，最大的field可以到多大，能不能把整个北极盖住呢？

首先我们需要搞清楚的一点是ingress中的link是沿着地球表面上两个po之间最短的连线走的，抽象出来就是弧（link）在球面上过两点的大圆上，亦即测地线。三条不共线的测地线首尾相连组成一个球面三角形，也就是我们的field。

一个很自然的想法就是三条理论最长的link组成的球面等边三角形面积最大（证明略），下面我们将计算这个球面三角形的面积：

在球面三角形中，边长等于弧(边)对球心的张角乘上球的半径，由于所有边都有球半径这个乘积因子，方便起见可以全都除掉，用对球心张角来表示边长。取地球半径R为6371km，而link长度即弧长L为6881.28km，则弧对应的角度

a=L/R=1.08rad

为什么要计算它的三边呢？因为球面几何告诉我们，球面三角形的面积等于球面角超δ乘上半径的平方（也可以把δ理解成立体角），而δ是球面三角形三内角之和减去π，所以我们需要知道这个feild三个内角分别是多少，而内角的值是可以由三边的值得到的，因此我们先计算了它的三条边的值。

好了，接下来的问题就是解三角形了，只不过这个三角形是球面的。解三角形的痛苦大家中学应该经历过吧，那个麻烦啊，这个还是球面，一坨五六个元素的公式，要死啊…好在伟大的先辈已经给出了现成的由三边得到三角的公式

这是清代薛凤祚老先生在《三角算法》中提出的一种简洁的三角形解法，按照公式，

s=3/2a

由于是等边三角形

s-b=s-c=s-a=a/2

毕竟等边，还是非常舒服的，得到

sin(A/2)=sin(a/2)/sin(a)

其中a=1.08，解出A=1.245，也就是球面三角形的内角。

有了内角，就可以算面积了。首先球面角超

δ=3A-π=0.593

然后就得到球面三角形的面积

S=δR²=24Mkm²

哇，这feild真大，足足有两千多万平方公里呢，可以盖住半个亚洲！

那么回到开始的问题，这个理论最大的field能不能把整个北极盖住呢？

北极圈内的面积可以用球冠公式计算

S’ = 2πR*R(1 - sinθ)

其中θ为北极圈的纬度66°34’，R仍为地球半径，得S’=21Mkm².

也就是说，从面积上来看，这个field可以把整个北极盖住！

然而，由于link均为测地线，无法与北极圈平行，就是下图这个样子

所以，很可惜，理论上来说，是没有办法把北极完全盖住的。不过把整个中国盖住还是没有问题的^_^

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